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標題: 部分翻譯Modeling, Estimation, and Control of Quadrotor [打印本頁]

作者: navo 時間: 2017-9-26 16:46
標題: 部分翻譯Modeling, Estimation, and Control of Quadrotor
部分翻譯四旋翼基礎
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第五頁：
定義：A（flap）,其中w是角速度的設定值。此矩陣描述的是旋翼揮舞對機身視風的敏感度，
假定（9）式中u很小并且u2分母上可以忽略。A(flap)第一行將（9）式速度轉換為平行于機身x軸。
第二行有一個pi/2的旋轉，來解釋視風方向是沿著y軸，第三行突出沿機身坐標z軸的速度。

我們將剛性旋翼視為簡單的扭矩彈簧，以此，誘導阻力直接與這個角（torsional spring）成
比例并且可以由總的推力衡量。揮舞角較于誘導阻力是可以忽略的，機身坐標下的誘發阻力
D（ind),式子中dy,dx是誘發阻力的系數。

作用在旋翼上的外力建模如下 F（10），其中D=A(flap)+diag（dx,dy,0）,T(sigma)見（5）式

旋翼揮舞和誘發阻力的一個重要結果是四旋翼在水平面上可以自然的保持平衡。
定義P（h）（11）式為x-y平面的投影矩陣。｛A｝中速度的水平分量為v(H)（12）式。
回看（1b）并投影到速度的水平面上，有mv.如果飛行器水平飛行，也就是vz=0，那么重寫v
和（13）式。最后一部分較少阻尼，對于一個典型的系統，D矩陣半正定。

四旋翼的一個詳細模型，包括旋翼揮舞和誘發阻力，被包含在MATLAB的機器人工具箱里。
呈現在SIMULINK庫里，包含一系列四旋翼慣性和氣動力學參數。動畫塊的圖形輸出見圖4。
文獻【1】有路徑跟隨和基于視覺的穩定性更詳盡描述。

以上論述沒有考慮幾種附加的空氣動力學影響，這些影響對于高速和高機動的四旋翼是重要的。
尤其，我們沒有考慮平移升力和阻力，這將會影響高速下的四旋翼產生升力，軸流建模以及
影響軸向運動推力的渦旋態，并且地面效應會影響貼面飛行。值得注意的是高增益控制可以
控制所有的二次空氣動力學效應，再者，四旋翼的高性能控制已經證明可用于靜推力模型。
旋翼揮舞和誘發阻力的詳細模型被提出，由于它在理解狀態估計算法的重要性，將在后邊提到。

SWAP/CASL

減小四旋翼級別會發生關于慣性、負載和最大可實現的角和線性加速度的有趣結果。研究尺度，
建立一個簡單的物理模型去分析四旋翼在懸停狀態產生線性加速度和角加速是十分有用的。

如果特征長度是d，旋翼半徑r與d呈線性關系。質量級d3，慣性矩d5。另一方面，從（3）
到（4），升力或推力，T,阻力，Q，旋翼速度，w2是顯而易見的。換言之，
T~w2d4和Q~w2d4,線性加速度a，它們取決于推力和質量；角加速度aerfa取決于推力，
阻力，力矩和慣性力矩，尺度是a=w2d,aerfa=w2。

為了發現旋翼速度尺度與長度的關系，采用兩種可接受的通用方法研究尺度是有幫助的。
Mach尺度對于可壓縮流動和基本假設（旋翼尖速度vb是常數導致w~(1/r)）是有效的。
Froude尺度對于不可壓縮流動和基本假設（對不同的飛行器配置是常數Froude number）。
這里，g是重力加速度。假設r~d,我們得到w~(1/r)。因此，Mach尺度預測為a~1/d,aerfa~1/d2
然而Froude尺度結論是a~1,aerfa~1/d。誠然Froude和Mach的數據仿真既沒有考慮電機特性
也沒考慮電池性能。當電機扭轉力矩增加，旋翼的速度取決于電機力矩速度特性和旋翼的阻力
速度特性匹配。進一步講，電機力矩取決于電池對所需電流的提供能力。最后，前一節假設的
旋翼是剛性的可能是錯誤的。進一步，旋翼氣動力學針對不同的葉片設計對小型直升機葉片
設計是不同的，并且升力速度的二次縮放也可能會不準確。

雖然，在上述的建模分析中，Froude和Mach參數分析關鍵點在于較小的四旋翼能夠產生
更快的角加速度，同時，線性加速度在最壞的情況下不受縮放影響。但是，較小的四旋翼
靈活性更高，一個事實就是，可以輕易的從ATP四旋翼實驗看出（2KG總重，0.75米直徑
，懸停電極轉速5000r/min），以及在Pennsylvania大學GRASP實驗室進行的實驗（75g
總重，0.21米直徑，電機懸停速度9000r/min）。

Estimating the Vehicle State

狀態估計的關鍵包括四旋翼高度、姿態、角加速度和線性加速度的控制。這些狀態中，
姿態和角速度是最重要的，同樣的，它們作為主要因素應用在飛行器姿態控制。任何四旋翼
攜帶最基礎的儀器是慣導單元（IMU），通常用超聲波、紅外、氣壓計或激光來增強高度
測量，更多的機器人會搭載更復雜的傳感器單元，例如VICON系統，GPS,相機，體感或
激光掃描測距儀。

Estimating Attitude
典型的IMU包括三軸速度陀螺儀，三軸加速度計和三軸磁力計。速度陀螺儀測量｛B｝中
角速度關聯到｛A｝，并且參照｛B｝表示在機體坐標系中：oumiga(IMU)=oumiga+b(oumiga)
+yita,其中yita表示加性測量噪聲、b（oumiga）是陀螺儀偏差常量（或隨時間慢慢變化）。
通常，陀螺儀內嵌在四旋翼一個抗干擾可靠的設備里---MEMS。

加速度計（存在捷聯式IMU）測量外力在｛B｝中產生的瞬間加速a(imu)。其中b(a)是一個偏差，
yita(a)表示加性測量噪聲，v(點)來自慣性系。由于我們將在本節解決數學表達的問題，我們用
記Z=a3。安裝在四旋翼上的加速度計對振動十分敏感，并且，加速度計需要低通設備和/或低通
電子濾波器使能。大多數四旋翼航空設備在信號采樣前會將濾波器嵌入MEMS加速度計里。

通常用的估計b(oumiga)和b(a)技術是在幾秒內對多數傳感器輸出求平均，在四旋翼置于地面
電機還未啟動。接著，假設偏差是飛機飛行時間常數。

磁力計提供環境磁場（可能是判定方向）的測量m(IMU)，其中（A）m表示地磁場（表示在
慣性系），B（m）是表示在機身坐標的局部地磁擾動，噪聲量yita(b)較磁力計的讀入很小；
然而，局部地磁擾動很重要，尤其當傳感器置于電極電源線附近。

加速度計和磁力計通常用來提供關于機身的絕對姿態信息，速率陀螺儀提供加速度測量補償。
磁力計信號包含的姿態信息可直接被理解；當缺乏噪音和偏差，m(IMU)提供一個R(t)(A)m和
約束二自由度的R旋轉。

本文用加速度計信號來估計姿態是巧妙的/微妙的。用最簡單的模型（6）式，令derta恒為0，
a(IMU)。這表明，簡單模型所測的加速度總是指向機身坐標Z軸方向，并沒有提供姿態信息。
實踐中，推力的旋翼揮舞部分提供加速度信號。回顧（10）式并忽略偏差和噪聲部分，a(IMU)
可以被記為（16）式。我們將在這一部分后邊講到，僅有低頻的加速度信號被研究者構建。
因此，只有速度v的低頻或近似穩態響應，被估計用來構建關于a(IMU)低頻部分模型。
（1b）中另v(.)=0，帶入（10）式，重新整理，得到速度低頻分量的估計式子，帶入（16）式
得到（17）式。其中a(-IMU)表示加速度信號低頻分量。也就是說，當飛機在懸停時a（IMU）
的低頻分量是機身坐標系支撐力的表述，支撐力在機身坐標系中是負重力矢量（大小相等方向
相反）。當四旋翼v(.)=0，多數機器應用涉及懸停，慢速前進時耗費大量時間；同時用這個
飛行狀態期間加速度計獲取的信息作為參考，在實踐中表現良好。

飛行器姿態運動學在（1c）中給出。用R(^)表示四旋翼姿態R的估計。在文獻【12】中觀測
融合了加速度計，磁力計，陀螺儀數據，和其他姿態估計R(E)（例如VICON提供的或其他外圍
測量系統），如下（18）式。其中k(a),k(m),k(E)，k(b)是任意非負觀測獲取值，
P是歐幾里德矩陣投影到反對稱矩陣。如果關于aerfa的任意一個測量不能得到或實現，那么
觀測（observe）相關增益應被置零。姿態R(^)和偏置修正角加速度oumiga(^)都是被這個
觀測得到。（18）式的觀測在文獻【12】【13】中被廣泛研究，并顯示出姿態的期望姿態估計
指數收斂（理論和實驗中），伴隨著b(^)收斂于陀螺儀偏差b。濾波器有很好的互補性，用
陀螺儀的高通部分，磁力計、加速度計、外部姿態測量的低通部分【12】。滾降頻率和弧度
單位的增益k(a),k(m),k(E)有關，觀測的良好表現依賴k(a),k(m),k(E)的調整。尤其，加速計
增益必須調整低于正常飛行器運動帶寬，針對典型的四旋翼應小于5弧度/秒。磁力計和外部
增益可依賴可靠的信號調整的比滾降頻高點兒。偏差增益k(b)特意選擇一個比創新增益小得多
的數量級，k(b)<k(A)/10，這樣就會引起偏差估計耗時至少30秒。這個動態響應對于追蹤
緩慢變化的偏差和減弱從姿態響應估計偏差是必要的。然而，起飛時用一個偏差估計來初始化
observe是必要的，以此來避免長時間的濾波響應。

這一observe方程的獨到特色是增益可以實時跳整只要注意偏差增益很小。實時調整增益允許
one在飛機懸停時期使用加速度計，然后，在關于a(IMU)低頻假定不再保持的時候設定k(a)=0
來進行特技飛行。非線性魯棒、保證漸進穩定、增益調節的靈活性使得這個observe成為四旋翼
姿態估計的首選，較擴展卡爾曼濾波器、復雜卡爾曼濾波器或更復雜的隨機濾波。

Estimating Translational Velocity（平動速度估計）
旋翼揮舞響應提供了一種方法來建立一個觀測，關于飛行器基于IMU傳感器獲取的水平速度，
至少是飛行器在水平面飛行。假定飛行器姿態R(^)的良好估計已知，并且飛行器在一恒定的
高度飛行。

回顧投影（11）式，慣性加速度的水平分量可悲表示如（19）式，其中信號a和R(^)已知。
由于我們已經假設飛行器在意恒定高度飛行，那么v(z)=0,回看（12）式，Pv=v。進一步，
升力T(omiga)=mg來補償機身重量。回看（16）式和考慮水平分量，可得（20）式。
假定姿態估計濾波很穩定，即，R(^)=R，那么（19）（20）可用來估計v(h)的估計見（21）。
v(h)的估計被很好定義，只要2*2矩陣PRDRP可逆，只要飛行器在飛行過程中橫滾和俯仰角
小于90度，這一condition可被保存。

方程（21）提供了一個水平速度的測量；然而，它是直接從未濾波的加速度計獲取，所以包含
大量噪音而不能用。然而，低頻成分可被用于驅動速度互補觀測器--它利用姿態估計和系統
模型(1b)以及推力模型（10）作為它的高頻部分。令v(^h)為飛行器的慣性速度的水平分量
估計。回看（1b），我們提出（22）式，其中v(h)見（21）式。增益k(w)>0是調整參數來
調整來自v(^h)中濾波器信息的滾降系數。observe 也用一個速度估計v(^h)提供一個稍正確的
RDRPv(h)部分前進速度近似；然而，和RDRPv(h)部分相關的潛在運動很穩定，盡管有近似
但是觀測器仍然很穩定。

Estimating Position
位置估計是狀態的最后一部分，位置估計通常分為水平和垂直兩個方向。先考慮垂直方向，
這個方向上有兩個相對獨立的高度，一個是飛行器的絕對高度，一個是給定時間點對于地形
的相對高度。不幸的是，我們不能利用IMU有效的去估計絕對高度；最好，加速度計的z軸
低頻信息提供垂直運動的限制信息。大多數包含氣壓傳感器的四旋翼可以解決厘米級的絕對
高度。絕對高度也可以用GPS\VICON\SLAM系統。相對高度可用超聲波、激光測距或紅外
激光傳感器獲取。一旦一個足夠精確的高度測量可以實現，我們可以直接用這個測量而不必
增加額外的高度探測器復雜設計，對于典型的系統，尤其因為前饋信息的獲取是由加速度計。

水平位置也可以劃分為相對和絕對。相對位置可有GPS（10HZ厘米級精度）獲取或者是一些
像VICON運動捕獲系統（375HZ50um精度）的外部定位獲取。然而，GPS在室內失效并且
運動捕獲設備昂貴，加上他們的傳感器陣列有空間延伸的限制且對于大面積的室內空間規模
進行測試是不切實際的。

相對位置的測量通過板載傳感器測得周圍環境物體，小的板載激光測距單元，RGBD相機系統
例如Kinect。眾所周知的SLAM技術，借鑒激光測距技術發展類似的技術應用到地面移動
機器人在上個十年，已經應用到四旋翼上【14】。然而，激光測距僅提供3D環境的橫截面信息
并且隨著思緒安逸的飛行會發生傾斜，導致距離墻壁的距離發生明顯變化，在極端的情況下，
掃描平面會與屋頂或地面相交。激光測距重且耗電大，會避免應用到小四旋翼的下一代。

視覺傳感器的最大特點是小巧輕便低功耗，會隨著四旋翼的縮小變得越來越重要。視覺可以
支持四旋翼的基本導航能力例如測程、姿態估計、建立地圖、地物識別和沖突檢出。已經有
很長的時間把視覺應用到空中機器人系統在室內或室外環境，著名的游戲裝備AR.Drone利用
視覺增強姿態和測程【20】。視覺可以用來識別物體，基于顏色、質地、形狀，或者用來
防撞措施。

視覺也有弊端。一，視覺計算復雜導致低采樣率。由于板載計算能力的限制（SWAP消耗），
大多數報告系統把圖像通過無線連接傳給地面站，這樣將增加系統的靈活性，控制延遲和
對干擾和信號丟失的敏感性。然而，處理器速度持續改善，我們仍然可以使用視覺和類似昆蟲
飛行控制技術，在傳感和神經能力有限的情況下，完成復雜任務【21】。二，在旋轉和平移
運動間有模棱兩可的分界，尤其在狹窄的地方使用視角相機。三，欠驅動四旋翼利用橫滾
或偏航自由度來指明在期望直線運動方向上的推力向量。對于一個安裝在機架上的攝像頭
（指的是不能活動），將會對姿態控制運動在圖像運動中引發一個大的視差運動。在傳感器
捕獲到圖像時很有必要及時消除視差運動的影響。生物系統也面臨同樣的問題，有趣的是，
哺乳動物和昆蟲進化出同樣的解決策略：陀螺儀傳感器（耳內前庭傳感器）【22】。最后，
還存在一個關于使用單目攝像機恢復運動規模的問題。雙目攝像機是可以的，但是由于
四旋翼尺寸變得更小會有底線限制。

Control
實現追蹤平滑路徑SE（3），控制的問題受很多方面的影響。一，系統欠驅動：四個系統
輸入U，但是SE(3)是6維。二，前文建立的氣動模型是近似的。最后，輸入理想化。實際中，
電機控制要克服阻力矩產生期望速度、輸入力T（omiga）和力矩（tao）。電機的變化和
相互作用，伴隨阻力作用在螺旋推進器上，模型十分難建立，盡管，一階線性模型十分近似。

多層控制的方法通用在四旋翼。最低層，最高帶寬用于電機轉速控制。下一層，控制飛行器
姿態，最高層用于沿軌道的位置控制。多層模型形成嵌套反饋環，見圖表5。

Controlling the Motors
轉子速度驅動動態模型見（8）式，電機速度的高質量控制對飛行器的全面控制是奠基性的；
推力T（omiga）的高帶寬控制，記為u1,轉力矩（taox,y,z）記為u2，形成高質量的姿態和位置
控制。多數四旋翼裝備無刷直流電機，他們用反電動勢進行轉子換相和高頻PWM控制
電機電壓。最簡單的系統通常直接電壓控制電機，因為穩態電機速度與電壓成比例；然而，
由電機動力學知動態響應是二階。通過混合電機層單輸入和單輸出控制來改善性能，有（12）
式，其中V(i)是外加電機電壓，w*是期望速度，真是電機速度wi可被測量通過嵌在速度控制器
的電子換相。這將會解決一個常見問題--在正常飛行時，電池電壓減少時，給定的PWM信號
所對應的速度會降低。氣動力學阻力引起的負荷扭矩會產生循跡誤差，這一誤差可通過大比例
增益（k）或/和反饋部分來實現最小化。阻力矩的一個好處是形成高阻尼系統，這可以避免
一次微分調節。前向反饋部分V(ffw*)補償穩態PWM關聯一個給定的速度值通過混合靜態推力
和可能包含的電池電壓來形成一個最好的可得到的模型。

電機控制器的良好表現受限于電池的現狀。這將是小型機器最重要的一個受限因素。過激的
調整和額外的策略艘將會導致電壓總線嚴重降壓，減小每一個電機的推力，極端情況下，引起
局部板載電子器件斷電。鑒于這一因素，我們可以引入飽和，盡管這會在過激策略里不符合
線性電機/轉子響應。

Attitude Control
我們首先考慮設計一個SO(3)里的指數匯集控制器。給定一個機身期望姿態R*，我們想先
一步設計旋轉誤差測量。我們選擇如下測量（24）式，會產生一個反對稱矩陣表示旋轉軸，
需要從R到R*并且它的量級等于旋轉角正弦值。

為了驅動線性控制器，我們線性化名義上懸停位置的動力學，這個位置上roll和pitch角接近
零，并且角加速度接近零。如果我們記R=(A)R(B)為yaw旋轉(A)R(E)和(E)R(B)產物，R是
roll 和pitch 的一部分，我們線性化旋轉（pusai,fai,seita）=(pusai0,0,0),下式，還有（25）式，
（25）式契合誤差向量eR，同樣存在與機架中。如果期望角加速度向量為0，我們可以計算
比例和倒數誤差來得到pd控制律，見（26）式。其中kR和k(omiga)是正定矩陣增益。這個
控制器保證穩定在懸停點附近。為了得到較大偏離懸停位置集合，有必要回到（24）式取消
線性化。這要求我們直接計算SO(3)中誤差。通過修正非線性慣性項和包含正確的誤差項，
我們得到（27）式u2。這個控制器保證近乎所有旋轉呈指數穩定【23】。從實用角度看，
忽略控制器的后三項來實現滿意的性能是可行的，但是誤差項的正確計算是重要的。

Trajectory Control
接下來我們轉移到沿指定路徑的控制。以前，我們總是優先考慮線性控制器，通過線性化運動
學關于kexi=kexi*,sita=fai=0,pusai=pusai*,kexi=0,fai(.)=seita(.)=pusai(.)=0，u1=mg,u2=0
作為名義上的給定輸入。線性化（1a），得到（28）式。為了指數驅動所有誤差的三大部分，
我們讓加速度向量kexi(com)滿足下式。從（28）式，我們可以得到（29）式，保證趨向0。
類似的，另外兩項，我們選擇sita*和fai*指數收斂，有（30a）（30b），上述方程在（28）式
中用derta sita替換sita*，derta fai替換fai*。最后，（pusai*,fai*,seita*）是前部分討論的姿態
控制器設置點。因此，如圖表5，控制的問題通過減弱位置控制和姿態控制子問題得以解決，
并且位置控制環提供了姿態控制器的姿態設定點。

位置控制器也可以是非線性的。這是通過投影位置誤差到b3軸以及輸入u1來實現的。u1取消了
重力作用和提供合適的比例微分反饋，見（31）式。既然投影過程是關于roll和pittch非線性
操作，所以是非線性控制器。在【23】中，顯示兩個非線性控制器（27）（31）引起指數穩定
和允許路徑跟隨在SE(3)。

Trajectory Planning
四旋翼是欠驅動的，這很難規劃路徑在一個12維的狀態矢量空間（6自由度位置和速度）。然而，
如果我們認為四旋翼動力學是微分平滑【25】，那么問題就簡化了。鑒于此，我們僅考慮輸出位置
kexi和yaw角pusai。我們可以記所有的狀態矢量和輸入為輸出（kexi,fai）和他衍生物的函數。
kexi衍生物產生速度v和加速度v(.)。從圖表3可知e1，和機身單位向量可用pusai和v(.)表示，
b1,b2,b3，其中b3*e1不等于0。這樣定義了轉移矩陣（A）R（B）是關于v(.)和pusai方程。
同樣，我們記減速度和四輸入是關于位置、速度、加速度、jerk（gama）、snap、
或jerk(sita)的方程。可以從這些方程中看出在兩個18*1向量間存在一個微分同胚。
微分平滑特性使得設計一個符合欠驅動系統的動力學成為可能。空間里任何平滑四次微分軌跡，
（kexi,pusai）,符合一個可行的軌跡---軌跡符合運動方程。狀態和輸入的所有不相等約束可以
被表示為平滑輸出和他們的衍生物的方程。這一映射到平滑輸出空間可以用來產生軌跡，所
產生的軌跡是不同平滑輸入和他們衍生物加權組合形成的最小化成本函數，見（32）式。
在【24】中，最小單元軌跡是最小成本函數，來自卡環和航偏角加速度以及L()。
在平滑空間中，匹配參數化軌跡和偏差方程，以及，考慮線性不等式，來建立狀態和輸入模型，
把這一優化轉換到約束多目標規化是可行的，同時這也解決了實時規劃。

最后，見（11）式，融合這種控制和姿態控制器以接近0速度來飛越垂直窗戶或降落在斜桿是
可行的。軌跡控制器用在機器人上來逐漸增大動量，而姿態控制器重新定位當產生的動量衰減。

Vision-Based Perception and Control
有兩種方法解決基于視覺的飛行器控制問題。一，有經典的SLAM魯棒控制技術，盡管有環境
和狀態估計是固定3D的說明。進來有很多研究者專研于此，我們就不再嘗試深入談下去，
也就是說，一個更好的環境估計和定位算法得被發現，以上所討論的控制技術可以應用。
二，基于傳感器的直接控制，最常見的案例使用方法，基于圖像的伺服控制器【27】-【29】。

圖像上一個點的運動，是相機運動和點的協調（u,v）,方程見式（33）,Z是圖像深度，v是
相機空間速度，J(.)是視覺雅可比或相互作用矩陣。J可由透視相機得到【30】，（u,v）是
像素匹配；或一個球形相機【31】中（u,v）是經緯度角。

飛行器的橫滾俯仰運動由姿態子系統控制，來保持位置或空間循跡，這將會引起圖像運動。
我們劃分方程如（34）式，其中最右部分描述因外因誘發的橫滾和俯仰帶來的圖像運動。
重新整理（34），有（35）（36），（u,v）表示圖像點，基于wx,wy理解去除橫滾和俯仰
運動的圖像點，這些點可由陀螺儀得到。現在考慮圖像上得點（u,v）和期望位置（u*,v*）。
這一期望位置點來自現場照，當飛行器在期望能夠姿態時，我們希望返回的。因此，期望
圖像運動是（u*,v*）,其中符號表示圖像平面和球面的不同。N個點，我們可寫為（37）式。
如果N>2且B矩陣非奇異，我們可已用平移和航偏速度驅動飛行器到一個特征點包含（u*,v*）
的姿勢。這是一個應用在欠驅動飛行器上的基于圖像視覺伺服的例子，這項技術可以應用到
寬領域的相似問題，例如保持站，路徑跟隨，避障和著陸。

Conclusions
這篇文章，我們提供關于多旋翼飛行器建模、估計、控制的教程，著重關注的是四旋翼。
動力學模型包括SE（3）中飛行器的剛體運動、懸停時的大氣動力學、旋翼揮舞特別重要的
前進運動。基于加速度計，陀螺儀，磁力計在姿態和平移速度處討論，GPS，運動捕獲系統，
相機運動估計方法來進行姿態估計。分層控制理論的討論，從單轉子到姿態控制、路徑跟隨、
基于圖像的視覺控制。高機動性小尺度飛行器的未來可能性由傳感器尺度決定。

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作者: admin 時間: 2017-9-28 01:43
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