懸臂角度，f為螺旋槳拉力，u電機(jī)電壓。系統(tǒng)的建模與仿真
3.1建模建立
電機(jī)螺旋槳懸臂構(gòu)成了一組具有一定質(zhì)量的機(jī)械系統(tǒng)，能夠在拉力的作用下，繞中心上下轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖一所示。為了簡(jiǎn)化分析，忽略懸臂質(zhì)量、忽略摩擦力。設(shè)l為懸臂長(zhǎng)度，m電機(jī)質(zhì)量，懸臂角度，f為螺旋槳拉力，u電機(jī)電壓。
圖一 受力分析
圖二 電機(jī)螺旋槳懸臂系統(tǒng)工作原理
角度：定義水平方向?yàn)榱愣龋鏁r(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较颉?/font>
工作點(diǎn)：懸臂受到螺旋槳拉力和重力的共同作用。拉力與電機(jī)電壓
有關(guān)，始終垂直于懸臂與運(yùn)動(dòng)方向。重力在運(yùn)動(dòng)方向上的分量為
。若施加某個(gè)電壓
螺旋槳產(chǎn)生拉力
，使懸臂穩(wěn)定停留在某個(gè)位置，則此時(shí)
。這時(shí)就構(gòu)成了一個(gè)工作點(diǎn)
。
3.1.1電機(jī)螺旋槳模型
給電機(jī)施加電壓u，電機(jī)帶動(dòng)螺旋槳旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生拉力f，已知電機(jī)電壓和轉(zhuǎn)速的簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型為一階線性微分方程。
（1）
其中T為時(shí)間常數(shù)，表征了系統(tǒng)的響應(yīng)速度快慢。K為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)增益，表征了當(dāng)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定不變時(shí)，電壓和轉(zhuǎn)速成正比。
電機(jī)電壓和轉(zhuǎn)速之間的傳遞函數(shù)由式（1）可知為
（2）
這里假設(shè)在工作點(diǎn)附近螺旋槳拉力和電機(jī)轉(zhuǎn)速成正比，Kf是比例系數(shù)。那么拉力和電壓的傳遞函數(shù)可以得到
（3）
3.1.2懸臂系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型
切線方向上的運(yùn)動(dòng)方程由牛頓第二定律可得
（4）
其中，b代表摩擦阻力。方程中存在難以分析的非線性項(xiàng)
。但是我們可以使用微小偏差法對(duì)其在某個(gè)特定的工作點(diǎn)附近進(jìn)行線性化。首先將力和轉(zhuǎn)角表達(dá)為工作點(diǎn)附近的增量形式，
，
帶入上式得到
（5）
（6）對(duì)非線性項(xiàng)
在工作點(diǎn)
處使用一階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)進(jìn)行局部線性化
（7）將式（7）代入式（6），并考慮到 
，得到近似后的線性方程
（8）為了簡(jiǎn)化表達(dá)，去掉△符號(hào)，并整理為標(biāo)準(zhǔn)形式
（9）傳遞函數(shù)
（10）3.1.3電機(jī)螺旋槳懸臂系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型
電機(jī)螺旋槳懸臂可以看作一個(gè)整體，則合并式（3）（10）、消去中間變量F(s)，得到指令電壓和懸臂實(shí)際角度的傳遞函數(shù)為
（11）當(dāng)懸臂位于水平線下方時(shí)，
，
，則
是一個(gè)正數(shù)。此時(shí)分母多項(xiàng)式里沒(méi)有負(fù)系數(shù)。
懸臂系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，有3個(gè)極點(diǎn)
、
、
。如果電機(jī)的反應(yīng)速度非常快，遠(yuǎn)快于懸臂的反應(yīng)速度，也就是說(shuō)對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，其他兩個(gè)極點(diǎn)是主導(dǎo)極點(diǎn)。則可以簡(jiǎn)化為2階系統(tǒng)。
（11）3.2 PID 控制以及MATLAB仿真
比例控制能夠提高系統(tǒng)響應(yīng)速度，減小穩(wěn)態(tài)誤差，但是穩(wěn)定性減弱、震蕩加劇。因此引入微分控制抑制震蕩改善穩(wěn)定性。如果希望消滅穩(wěn)態(tài)誤差，就需要引入積分環(huán)節(jié)提高系統(tǒng)穩(wěn)定性。
仿真圖
利用simulink中進(jìn)行仿真分析查看P、PD、PI、PID控制器的控制效果
圖一 仿真原理
說(shuō)明：圖一為控制系統(tǒng)的simulink仿真模型。
PID 控制是工業(yè)控制實(shí)踐中最常見(jiàn)的控制算法（95%以上）。控制器由比例單元（P， proportional）、積分單元（I，integral）和微分單元（Dderivative）組成，包含 Kp、Ki 和 Kd 三個(gè)需要設(shè)定的系數(shù)。控制原理如圖 2所示，微分方程及傳遞函數(shù)如下式所示。
PID控制原理圖
PID 控制器的比例、積分和微分作用分別對(duì)應(yīng)當(dāng)前誤差、過(guò)去累計(jì)誤差及誤差變化速度（未來(lái)誤差）。若是不知道受控系統(tǒng)的特性，一般認(rèn)為 PID 控制器是最適用的控制器。借由 調(diào)整 PID 控制器的三個(gè)參數(shù)，可以調(diào)整控制系統(tǒng)，設(shè)法滿足設(shè)計(jì)需求。控制器的響應(yīng)可以用 控制器對(duì)誤差的反應(yīng)快慢、控制器超調(diào)程度及系統(tǒng)震蕩的程度、穩(wěn)態(tài)誤差大小來(lái)表示。 根據(jù)具體應(yīng)用場(chǎng)合可以使用PID 控制的各種組合，如P控制、PI控制、PD控制等。其中以PI控制最常用，I 控制能夠消除穩(wěn)態(tài)誤差。D 控制對(duì)反饋信號(hào)噪聲十分敏感，需要精心
設(shè)計(jì)。
比例、積分、微分算法在沒(méi)有計(jì)算機(jī)的年代是使用模擬器件來(lái)實(shí)現(xiàn)的。現(xiàn)代工業(yè)中普遍 使用數(shù)字計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。計(jì)算機(jī)以固定時(shí)間間隔????不斷的重復(fù)運(yùn)行 PID 控制算法，第 k 次的比 例控制項(xiàng)????(??)、微分控制項(xiàng)????(??)、積分控制項(xiàng)????(??)分別如下
然后 合成控制器的總輸出
PID算法流程圖
1. 微分控制對(duì)高頻擾動(dòng)十分敏感，需要設(shè)法抑制；
2. 積分控制存在積分飽和問(wèn)題，對(duì)控制效果影響較大，需要解決；
4系統(tǒng)硬件電路設(shè)計(jì)和軟件編程
4.1電路設(shè)計(jì)
總電路圖
局部電路圖1（總開(kāi)關(guān)） 局部電路圖2（晶振）
局部電路圖3（USB讀寫(xiě)模塊）
局部電路圖4（LED顯示屏模塊）
局部電路圖5（USB轉(zhuǎn)串口模塊） 局部電路圖6（ad轉(zhuǎn)換模塊）
局部電路圖6（電機(jī)驅(qū)動(dòng)模塊模塊）
說(shuō)明：利用89C51單片機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)直流電機(jī)的PID控制以及實(shí)時(shí)狀態(tài)數(shù)據(jù)的顯示。
4.1.3 PCB電路圖
PCB圖
PCB三維圖
說(shuō)明：仿真符合預(yù)期效果。
單片機(jī)STC90C516RD+（1）
PCF8591T ad轉(zhuǎn)換芯片——（1）
CH340G USB轉(zhuǎn)串口芯片——（1）
ULN2003電機(jī)驅(qū)動(dòng)芯片——（1）
LED顯示屏LCM1602K-NSW-BBW——（1）
Micro USB連接器——（1）
開(kāi)關(guān)K2-1107ST-A4SW-06——（3）
排針X6511WV-04H-C30D60——（3）
晶振X49SD27MSD2SC——（2）
三極管2n3904S-RTK/PS——（1）
電阻：10KΩ——（2）；200Ω——（1）；4.7K——（1）；10KΩ可變電阻VZ067TL1B103——（1）；10K排阻C26615——（1）
電容：10u——（1）；22p——（6）；104——（2）；0.1u——（1）22u——（2）電化學(xué)電容1u——（1）
原理圖
說(shuō)明：
我們用51單片機(jī)去控制電機(jī)轉(zhuǎn)到指定角度，并通過(guò)lcd顯示出來(lái)
系統(tǒng)的綜合測(cè)試和評(píng)估
比例（P）控制
當(dāng)控制器的輸出與偏差成比例時(shí)，稱之為比例控制（proportional control）。即 
系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 
利用終值定理求得單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值
分析可知 ，電機(jī)的指令電壓控制了電機(jī)轉(zhuǎn)速，即拉力。比例控制意味著拉力和誤差成正 比。因此： 1) 比例控制必然存在誤差。誤差是產(chǎn)生拉力的源泉，沒(méi)有誤差就沒(méi)有拉力。要維持一 定的拉力，????越大，所需的誤差就越小； 2) 比例控制器的輸出只和誤差成正比，????越大，控制器反應(yīng)越靈敏。當(dāng)懸臂快速?zèng)_到 指定位置時(shí)，誤差為 0，拉力也為 0，加速度為 0。雖然懸臂的加速度為 0，但可能 還會(huì)存在一定速度，產(chǎn)生過(guò)沖。
圖一P控制的理論曲線
通過(guò)實(shí)驗(yàn)我們發(fā)現(xiàn)Kp較大時(shí)會(huì)加快響應(yīng)速度快速達(dá)到穩(wěn)定，能減少誤差但不能消除誤差，Kp越大時(shí)會(huì)很容易引起振蕩；Kp減小，發(fā)生振蕩的可能性減小，但調(diào)節(jié)速度變慢。
比例微分（PD）控制
一個(gè)控制系統(tǒng)的基本要求是穩(wěn)定、準(zhǔn)確、快速。增加比例控制系數(shù)能夠減小偏差提高準(zhǔn) 確性、減小反應(yīng)時(shí)間提高快速性。但是同時(shí)帶來(lái)的問(wèn)題就是系統(tǒng)穩(wěn)定性減弱，表現(xiàn)為容易過(guò) 沖、產(chǎn)生震蕩。 當(dāng)控制器輸出不僅和偏差成比例，同時(shí)還與偏差的變化速度（微分）成比例時(shí)，稱之為 比例微分控制（Proportional + Derivative control）。
即： 
對(duì)應(yīng)傳遞函數(shù)：
PD控制中的比例項(xiàng)能夠減小偏差，微分項(xiàng)能夠減小偏差的變化速度、抑制振蕩。PD控制方框圖如下圖所示。
如果懸臂能夠簡(jiǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)
，則 PD 控制的閉環(huán)傳遞函數(shù)為
從理論上分析，增加 Kd會(huì)增加阻尼比，抑制振蕩。單純的比例控制器增加Kp 能夠減小誤差、增加響應(yīng)速度，但是會(huì)增加超調(diào)、惡化穩(wěn)定性。產(chǎn)生超調(diào)的原因前面已經(jīng)簡(jiǎn)要說(shuō)明過(guò)，原因是當(dāng)偏差為0時(shí)，偏差的速度不為0，這時(shí)引入微分控制作用可以抑制偏差的變化。理想情況是偏差為0時(shí)，偏差的速度也為 0，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。
圖五pd控制理論響應(yīng)曲線
經(jīng)過(guò)調(diào)節(jié)我們發(fā)現(xiàn)理論和實(shí)際有一些不吻合我們認(rèn)為是在現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中系統(tǒng)響應(yīng)速度慢，使微分環(huán)節(jié)作用削弱。微分控制可以改善動(dòng)態(tài)特性,如超調(diào)量減少,調(diào)節(jié)時(shí)間縮短,允許加大比例控制,使靜差減小,提高控制精度。但當(dāng)Kd偏大或偏小時(shí),超調(diào)量較大,調(diào)節(jié)時(shí)間較長(zhǎng),只有合話的時(shí)候,才可以得到比較滿意的過(guò)渡過(guò)程。
比例積分（PI）控制
在積分控制中，控制器的輸出與輸入誤差信號(hào)的積分成正比關(guān)系。對(duì)一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)，如果在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后存在穩(wěn)態(tài)誤差，則稱這個(gè)控制系統(tǒng)是有穩(wěn)態(tài)誤差的或簡(jiǎn)稱有差系統(tǒng)（System with Steady-state Error）。為了消除穩(wěn)態(tài)誤差，在控制器中必須引入“積分項(xiàng)”。積分項(xiàng)對(duì)誤差取決于時(shí)間的積分，隨著時(shí)間的增加，積分項(xiàng)會(huì)增大。這樣，即便誤差很小，積分項(xiàng)也會(huì)隨著時(shí)間的增加而加大，它推動(dòng)控制器的輸出增大使穩(wěn)態(tài)誤差進(jìn)一步減小，直到等于零。因此，比例+積分(PI)控制器，可以使系統(tǒng)在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差。積分調(diào)節(jié)作用：是使系統(tǒng)消除穩(wěn)態(tài)誤差,提高無(wú)差度。因?yàn)橛姓`差,積分調(diào)節(jié)就進(jìn)行,直至無(wú)差,積分調(diào)節(jié)停止,積分調(diào)節(jié)輸出一常值。積分作用的強(qiáng)弱取決與積分時(shí)間常數(shù)Ti, Ti越小,積分作用就越強(qiáng)。反之Ti大則積分作用弱,加入積分調(diào)節(jié)可使系統(tǒng)穩(wěn)定性下降,動(dòng)態(tài)響應(yīng)變慢。積分作用常與另兩種調(diào)節(jié)規(guī)律結(jié)合,組成PI調(diào)節(jié)器。
圖九 kp0.018 ki0.58理論響應(yīng)曲線
從圖中對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)積分環(huán)節(jié)的作用是：只要系統(tǒng)存在誤差，積分控制作用就不斷地積累，輸出控制量以消除誤差。因此只要有足夠的時(shí)間，積分控制將能完全消除誤差，但是積分作用太強(qiáng)會(huì)使系統(tǒng)超調(diào)加大，甚至使系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩。
圖二 kp=0.5 ki=0.6 kd=0.15響應(yīng)曲線
圖三 kp=0.5 ki=0.6 kd=0.15響應(yīng)曲線理論響應(yīng)曲線
我們發(fā)現(xiàn)PID控制可以較好地實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定通過(guò)PID算法的組合可有效地糾正被控制對(duì)象的偏差，從而使其達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)。但實(shí)際系統(tǒng)和理論系統(tǒng)總存在不足無(wú)法達(dá)到想要的理論狀態(tài)，我們?cè)趯?shí)際中發(fā)現(xiàn)該組pid可以很好的控制懸臂系統(tǒng)因此選用該組pid參數(shù)。
在這次設(shè)計(jì)中我們首先將項(xiàng)目分成三部分：第一部分通過(guò)51單片機(jī)將角度讀出，第二部分實(shí)現(xiàn)按鍵能改變?cè)O(shè)定角度，第三部分實(shí)現(xiàn)可以通過(guò)pid控制螺旋槳懸停在特定角度。
在實(shí)現(xiàn)項(xiàng)目過(guò)程中我們遇到了一些困難，并通過(guò)組員的一起努力解決問(wèn)題。
（1）在讀取電位器角度并將其顯示在LCD上時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)電位器讀到的數(shù)據(jù)并不能及時(shí)顯示在LCD上，有很長(zhǎng)的延時(shí)。我們通過(guò)查閱資料和咨詢老師最終發(fā)現(xiàn)在我們的庫(kù)函數(shù)里存在較長(zhǎng)時(shí)間延時(shí)從而導(dǎo)致數(shù)據(jù)不能被及時(shí)顯示，我們刪去了延時(shí)，發(fā)現(xiàn)角度可以很好顯示在LCD上。
（2）在調(diào)試程序時(shí)我們發(fā)現(xiàn)讀取的角度和設(shè)定的角度并不能一起顯示在LCD上，我們把自己所寫(xiě)的顯示函數(shù)封裝成函數(shù)，并將顯示當(dāng)前角度的代碼放在設(shè)定角度代碼上面，通過(guò)這樣的調(diào)試我們的LCD可以很好顯示。
（3）在pid控制時(shí)我們發(fā)現(xiàn)單片機(jī)雖然可以實(shí)現(xiàn)對(duì)電機(jī)控制但是波動(dòng)周期和時(shí)間都很大，經(jīng)過(guò)查閱資料和討論我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)該是定時(shí)器中斷時(shí)間和pwm周期存在問(wèn)題，經(jīng)過(guò)試驗(yàn)我們把定時(shí)器中斷時(shí)間設(shè)置在10微秒，pwm周期為1毫秒，
這時(shí)的電機(jī)可以很好的控制。
（4）在調(diào)試過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)螺旋槳雖然可以轉(zhuǎn)到指定角度但是只會(huì)維持一定的時(shí)間并不能長(zhǎng)時(shí)間維持在指定角度，我們經(jīng)過(guò)討論，和查閱資料認(rèn)為是pid的計(jì)算存在問(wèn)題，我們重新設(shè)計(jì)了pid的計(jì)算方法，最終解決了這些問(wèn)題。
在整個(gè)系統(tǒng)調(diào)試過(guò)程中我們
（5）比例控制一定存在誤差。誤差是產(chǎn)生拉力的源泉，沒(méi)有誤差就沒(méi)有拉力。比例控制器的輸出只和誤差成正比，比例控制當(dāng)快速到指定位置時(shí)，會(huì)發(fā)生過(guò)沖。
用比例微分控制時(shí)，PD控制中的比例項(xiàng)能夠減小偏差，微分項(xiàng)能夠減小偏差的變化速度、抑制振蕩。微分控制可以改善動(dòng)態(tài)特性,如超調(diào)量減少,調(diào)節(jié)時(shí)間縮短,允許加大比例控制,使靜差減小,提高控制精度。但當(dāng)Kd偏大或偏小時(shí),超調(diào)量較大,調(diào)節(jié)時(shí)間較長(zhǎng),只有合話的時(shí)候,才可以得到比較滿意的過(guò)渡過(guò)程。
比例+積分(PI)控制器，積分環(huán)節(jié)可以使系統(tǒng)在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差，提高誤差度。
PID控制可以較好地實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定通過(guò)PID算法的組合可有效地糾正被控制對(duì)象的偏差，從而使其達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)。
（6）電路圖的繪制起初對(duì)整體電路圖不熟悉，導(dǎo)致在Proteus中仿真失敗，后來(lái)發(fā)現(xiàn)是硬件型號(hào)不對(duì)，不同型號(hào)和規(guī)格的電容以及三極管對(duì)電路的影響會(huì)累積，導(dǎo)致最后的結(jié)果誤差極大，最后在多次更換調(diào)試后得以解決。
（7）PCB板的繪制最開(kāi)始在AD上繪制，但各種元件庫(kù)還需要下載極其不方便，導(dǎo)致浪費(fèi)了很多時(shí)間，究其原因也是對(duì)軟件的不熟悉，之后用的eda在線繪圖，進(jìn)度就加快了很多，對(duì)應(yīng)的元器件也能看見(jiàn)實(shí)物圖以及對(duì)應(yīng)封裝，能夠?qū)υ懈羁痰挠∠蟆?/font>
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